학산여고 고2 2-2학기 기하 중간고사 출제분석

1. 시험 총평 및 단원별 출제 비중

시험 일시: 2026년 10월 13일 (1교시)
문항 구성: 선택형 19문항(70점) + 서답형 5문항(30점) = 총 24문항(100점)
출제 범위: Ⅰ. 이차곡선 (포물선, 타원, 쌍곡선 및 접선) ~ Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (직선과 평면의 위치 관계, 삼수선의 정리, 이면각, 정사영)
출제 경향:
- 전반적으로 교과서 및 수능특강 기본·유제 수준의 개념을 충실히 묻는 문항들이 앞부분(1~13번, 서답형 1~3번)에 배치되어 시간 관리가 수월한 편이었습니다.
- 다만, 이차곡선의 정의를 활용한 도형 해석(8, 12, 18번)과 공간도형에서의 삼수선·정사영 응용(9, 17, 19번), 그리고 실생활 활용 및 수열이 결합된 서답형 4, 5번에서 실질적인 상위권 변별력이 발생했습니다.

2. 전 문항 상세 분석 (선택형 1~19번 & 서답형 1~5번)

문항	배점	단원 / 핵심 개념	난이도	출제 의도 및 학습 포인트
1	2.8	타원의 방정식	하	표준형으로 변형 후 $a, b$의 대소를 비교해 장축의 길이($2b$) 구하기
2	2.9	포물선의 방정식	하	$x^2 = 4py$ 꼴에서 초점 $(0, p)$와 준선 $y = -p$의 기본 개념 확인
3	3.0	포물선의 평행이동	하	일반형을 완전제곱식으로 고쳐 평행이동한 초점의 좌표 구하기
4	3.1	쌍곡선의 접선	하	기울기 $m$이 주어진 쌍곡선 접선 공식 $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ 적용
5	3.1	쌍곡선의 주축과 점근선	하	주축의 길이($2a$)와 점근선의 기울기($\pm \frac{b}{a}$)를 연립하여 미지수 구하기
6	3.3	공간에서 직선과 평면	중하	평면의 결정 조건, 직선과 평면의 수직 및 평행 성질에 대한 진위 판별(합답형)
7	3.4	타원 위의 점에서의 접선	중하	접선 공식 $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$을 구한 뒤 $x, y$절편으로 삼각형 넓이 계산
8	3.5	포물선의 정의 활용	중	초점을 지나는 직선과 준선($x=-3$) 사이의 거리 성질($\overline{PF}=\overline{PR}$, $\overline{QF}=\overline{QS}$)을 이용한 사다리꼴 넓이 계산
9	3.6	삼수선의 정리	중	밑면 직각삼각형에서 높이를 구한 뒤 삼수선의 정리를 연쇄 적용해 변의 길이 도출
10	3.7	쌍곡선의 초점과 점근선	중	초점에서 점근선까지의 거리가 원의 반지름($b$)과 같다는 성질 활용
11	3.8	타원과 직선 사이의 거리	중	주어진 직선과 기울기가 같은 접선을 구한 뒤 두 평행선 사이의 거리 공식 적용
12	3.8	타원의 정의와 대칭성	중	타원 중심 대칭성을 통한 평행사변형 성질, 둘레 일정($4b$), 넓이 최댓값(단축 꼭짓점) 종합 판별
13	4.0	타원의 평행이동과 초점	중	일반형 표준화 후 두 초점과 원점이 이루는 삼각형의 밑변과 높이 파악
14	4.1	쌍곡선 접선과 점근선	중	접선과 두 점근선의 교점을 연립하여 삼각형의 넓이 구하기 (공식 $ab$ 활용 시 시간 단축)
15	4.2	쌍곡선 위의 점에서의 접선	중	접선 방정식에 $x$절편 $(1, 0)$을 대입해 접점 좌표를 먼저 찾고 기울기 도출
16	4.3	꼬인 위치의 두 직선이 이루는 각	중	직육면체(정육면체)에서 평행이동을 통해 두 대각선이 수직($90^\circ$)임을 파악
17	4.3	정사면체와 정사영	중상	정사면체의 높이와 무게중심 성질을 이용해 이면각의 $\cos\theta$를 구한 뒤 정사영 길이 계산
18	4.5	두 쌍곡선의 정의와 등차수열	상	공초점인 두 쌍곡선 $H_1, H_2$의 정의($\overline{PF}-\overline{PF'}=2$, $\overline{QF'}-\overline{QF}=2a$)와 등차수열 조건 결합
19	4.6	종이접기와 이면각(삼수선)	상	평면도형을 접어 공간도형을 만들 때 수선의 발 위치를 삼수선의 정리로 찾아 이면각 도출
서1	4.0	쌍곡선의 정의와 점근선	하	거리의 차가 $6$인 쌍곡선의 방정식을 세우고 점근선 방정식 서술
서2	5.0	정사영의 길이와 삼각비	하	$l' = l \cos\theta$ 공식으로 $\cos\theta$를 구한 뒤 $\sin\theta$ 값을 더해 마무리
서3	6.0	포물선의 접선과 점과 직선 사이 거리	중	기울기 $m$인 접선 $y = mx + \frac{3}{m}$과 초점 $(3, 0)$ 사이의 거리 공식 적용
서4	7.0	타원의 실생활 활용	중상	철책 모양이 타원임을 파악하고, 중심에서 타원 위 점까지의 최소 거리(단반지름)와 최대 거리(장반지름) 구하기
서5	8.0	포물선의 정의와 수열의 합($\sum$)	상	원과 포물선의 교점 $P_n$에서 준선 대신 직선 $x=n$까지의 거리를 포물선 정의로 치환해 수열의 합 계산

3. 서답형 문항(1~5번) 모범 풀이

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[서답형 1] (4점) 문제

핵심: 두 점 F(4, 0), G(-4, 0)으로부터 거리의 차가 6인 쌍곡선의 점근선 구하기 풀이:

두 초점이 x축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식을 x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)이라 하면,

주축의 길이가 2a = 6 이므로 a = 3 초점의 좌표가 (±4, 0)이므로 c = 4이고,

b² = c² - a² = 16 - 9 = 7 이므로 b = √7 따라서 구하는

점근선의 방정식은 y = ±(b/a)x 이므로

정답: y = ±(√7 / 3)x

[서답형 2] (5점) 문제

핵심: 길이가 8인 선분 AB의 정사영 길이가 4일 때,

sinθ + cosθ 구하기 (0 ≤ θ ≤ π/2) 풀이: 정사영의 길이는 AB·cosθ = 4 이므로

8cosθ = 4 에서 cosθ = 1/2 이때 직선과 평면이 이루는 각 θ의 범위는 0 ≤ θ ≤ π/2 이므로 θ = π/3 (60°)

따라서 sinθ = sin(π/3) = √3 / 2

정답: sinθ + cosθ = (√3 / 2) + (1 / 2) = (√3 + 1) / 2

[서답형 3] (6점) 문제

핵심: 포물선 y² = 12x에 접하고 기울기가 m인 접선과

초점 사이의 거리가 9/m일 때 m² 구하기 풀이: 포물선 y² = 12x = 4·3x의 초점의 좌표는 (3, 0)이다.

기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx + 3/m, 즉 m²x - my + 3 = 0 이다.

초점 (3, 0)과 이 접선 사이의 거리가 9/m 이므로 (단, 거리이므로 m > 0)

|3m² - 0 + 3| / √(m⁴ + m²) = 9/m 분자, 분모를 정리하면

3(m² + 1) / {m√(m² + 1)} = 3√(m² + 1) / m = 9/m 양변에 m/3을 곱하면 √(m² + 1) = 3 이므로

m² + 1 = 9

정답: m² = 8

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[서답형 4] (7점) 문제

핵심: 두 초점 A, B 사이의 거리가 4√3 km,

거리의 합이 8 km인 타원형 철책 중심 O에서 무선 송출 시 수신 범위 조건

풀이: 중심 O를 원점, 두 막사 A, B를 x축 위의 초점으로 잡으면 철책은 타원 x²/a² + y²/b² = 1 을 이룬다.

거리가 합이 항상 8 km이므로 장축의 길이 2a = 8 에서 a = 4 두 초점 사이의 거리가 4√3 km이므로

2c = 4√3 에서 c = 2√3 b² = a² - c² = 16 - 12 = 4 이므로

b = 2 중심 O에서 타원 위의 점까지의 거리의

최솟값은 단반지름 b = 2 km = 2000 m, 최댓값은 장반지름 a = 4 km = 4000 m이다

. 1W당 반경 100 m까지 송신 가능하므로:

어느 곳에서도 수신되지 않으려면 도달 반경이 2000 m 미만이어야 하므로 α = 2000 / 100 = 20
모든 곳에서 수신되려면 도달 반경이 4000 m 이상이어야 하므로 β = 4000 / 100 = 40 정답: α + β = 20 + 40 = 60

[서답형 5] (8점) 문제

핵심: 중심이 O, 반지름이 n인 원이 꼭짓점이 O인 포물선의 초점 Fn을 지날 때,

원과 포물선의 교점 Pn에서 직선 x = n에 내린 수선의 발 Hn에 대하여 ∑(k=1부터 10까지) (PkHk + PkFk) 구하기

풀이: 반지름의 길이가 n인 원이 꼭짓점이 원점인 포물선의 초점 Fn을 지나므로, 초점의 좌표는 Fn(n, 0)이다.

따라서 포물선의 방정식은 y² = 4nx, 준선의 방정식은 x = -n이다. 교점 Pn의 좌표를 (xn, yn)이라 하면

(단, 0 < xn < n), 포물선의 정의에 의해 초점까지의 거리 PnFn은 준선 x = -n까지의 거리와 같으므로

PnFn = xn + n 한편, 점 Pn에서 직선 x = n에 내린 수선의 발이 Hn이므로

PnHn = n - xn 따라서 두 선분의 길이의

합은 PnHn + PnFn = (n - xn) + (xn + n) = 2n 그러므로 구하는 값은

∑(k=1부터 10까지) 2k = 2 × (10 × 11) / 2 = 110

정답: 110

2026년 2학기 학산여고 2학년 기하 출제 경향분석

이번 시험은 선택형 19문항(70점), 서답형 5문항(30점)으로 구성되었습니다. 전반적으로 이차곡선(포물선, 타원, 쌍곡선)의 기본 성질과 접선 공식, 그리고 공간도형의 삼수선 정리와 정사영 개념을 충실히 묻는 문항들이 주를 이루었습니다.

기본기 확인 구간 (1~7번, 10~11번, 서답형 1~3번): 교과서와 기본 유형서만 제대로 반복했다면 무리 없이 풀 수 있는 문제들이었습니다. 여기서 실수 없이 빠르게 시간을 확보하는 것이 관건이었습니다.
상위권 변별력 구간 (17~19번, 서답형 4~5번): 단순히 공식을 외워서 대입하는 학생들은 고전했을 문항들입니다. 특히 이차곡선의 '정의'를 도형 위에서 직접 해석하는 능력(8번, 18번, 서답형 5번)과 입체도형에서 보조선과 삼수선의 정리를 찾아내는 공간지각력(17번, 19번)이 1등급을 가르는 핵심 열쇠였습니다.

내신 1등급을 위한 '기하' 학습 전략

기하 과목은 양치기식 문제 풀이로는 절대 점수가 오르지 않습니다.

정의로 돌아가라: 포물선(초점과 준선까지 거리 같음), 타원(거리의 합 일정), 쌍곡선(거리의 차 일정) 문제는 식이 복잡해질수록 반드시 도형 위에 정의를 표시해야 풀립니다. 이번 서답형 5번 역시 수열의 합(∑\sum∑)이 결합되어 당황하기 쉬웠지만, 포물선의 정의만 떠올리면 2n2n2n이라는 아주 깔끔한 식이 나오는 문제였습니다.
오답노트와 1:1 개념 피드백: 공간도형(정사영, 이면각)은 내가 왜 그 보조선을 긋지 못했는지, 어느 직각삼각형에서 삼수선을 놓쳤는지 1:1로 짚어주며 개념의 구멍을 메워야 합니다.

우리 공터영어신강남학원에서는 대형 강의식 수업이 아닌, 학생 개개인의 풀이 과정을 1:1로 밀착 점검하고 철저한 오답노트 관리를 통해 학산여고를 비롯한 동래구 지역 학생들의 내신과 수능 수학 1등급을 끝까지 책임집니다.

이번 기하 시험지 풀이나 내신 대비 전략에 대해 더 궁금한 점이 있으시면 언제든 편하게 문의해 주세요!

학원 위치: 부산광역시 동래구 서동중심로 4 (명장동 파리바게뜨 건물 2층) 공터영어신강남학원
상담 및 문의: 010-4743-9924

블로그에 올리실 때 시험지 표지 사진과 서답형 풀이 과정을 함께 첨부하시면 학부모님들께 훨씬 더 신뢰감을 주실 수 있습니다. 혹시 선택형 문항 중에서도 특별히 풀이를 추가하고 싶은 번호가 있으시면 말씀해 주세요!

1. 시험 총평 및 단원별 출제 비중

2. 전 문항 상세 분석 (선택형 1~19번 & 서답형 1~5번)

3. 서답형 문항(1~5번) 모범 풀이

2026년 2학기 학산여고 2학년 기하 출제 경향분석

내신 1등급을 위한 '기하' 학습 전략

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